學(xué)好數(shù)學(xué)要依靠理解，“數(shù)學(xué)理解”應(yīng)受到數(shù)學(xué)教育界的普遍關(guān)注。“反函數(shù)”是函數(shù)知識(shí)的重要組成部分，也是函數(shù)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，反函數(shù)的定義是什么?以下是勵(lì)志人生小編為大家整理的關(guān)于反函數(shù)的定義，歡迎大家前來閱讀!
反函數(shù)的概念
所謂反函數(shù)就是將原函數(shù)中自變量與變量調(diào)換位置，用原函數(shù)的變量表示自變量而形成的函數(shù)。存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的(不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的)。
函數(shù)的定義
一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f(x)相對(duì)應(yīng)，y=f(x)。則y=f(x)的反函數(shù)為y=f^-1(x)。
存在反函數(shù)的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的(不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的)
【反函數(shù)的性質(zhì)】
(1)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;
(2)函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射;
(3)一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致;
(4)一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在反函數(shù),例f(x)=a(x=0)它的反函數(shù)是f(x)=0(x=a)這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。
(5)一切隱函數(shù)具有反函數(shù);
(6)一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性;
(7)嚴(yán)格增(減)的函數(shù)一定有嚴(yán)格增(減)的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。
(8)反函數(shù)是相互的
(9)定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆(三反)
(10)原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定(三定)
例：y=2x-1的反函數(shù)是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函數(shù)是y=log2 x
例題：求函數(shù)3x-2的反函數(shù)
解：y=3x-2的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是
y=1/3(x+2)
反函數(shù)的基本性質(zhì)
一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= (y). 若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x= (y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x= (y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= (y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作x=f^-1(y). 反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.
說明：⑴在函數(shù)x=f^-1(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^-1(x)，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式.
⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f^-1(x)，那么函數(shù)y=f^-1(x)的反函數(shù)就是y=f(x)，這就是說，函數(shù)y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函數(shù).
⑶從映射的定義可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f^-1(x)的值域;函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f^-1(x)的定義域(如下表)：
函數(shù)y=f(x)
反函數(shù)y=f^-1(x)
定義域
A C
值 域
C A
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)x=f^-1(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.
開始的兩個(gè)例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f^-1(t)=t/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f^-1(x)=x/2-3.
有時(shí)是反函數(shù)需要進(jìn)行分類討論，如：f(x)=X+1/X，需將X進(jìn)行分類討論：在X大于0時(shí)的情況，X小于0的情況，多是要注意的。一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
反函數(shù)的應(yīng)用介紹
直接求原函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域，求反函數(shù)的步驟是這樣的：
1、先求出反函數(shù)的定義域，因?yàn)樵瘮?shù)的值域就是反函數(shù)的定義域;
(我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步)
2、反解x，也就是用y來表示x;
3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x;
4、寫出原函數(shù)及其值域。
實(shí)例：y=2x+1(值域：任意實(shí)數(shù)) x=(y-1)/2 y=(x-1)/2(x取任意實(shí)數(shù))
特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個(gè)反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。
反函數(shù)求解三步驟： 1、換：X、Y換位 2、解：解出Y 3、標(biāo)：標(biāo)出定義域
反函數(shù)的使用符號(hào)
符號(hào)
arc
用法
例：三角函數(shù)中
正弦函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=sinx->x=arcsinx
余弦函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=cosx->x=arccosx
正切函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=tanx ->x=arctanx
余切函數(shù)和它的反函數(shù)：f(x)=cotx->x=arccotx
注解
反正弦的意義 ，則符合條件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦，記作：arcsina，即x=arcsina. 注：1、“arcsina”表示中的一個(gè)角，其中-1≤a≤1. 2、sin(arcsina)=a. (二)、反余弦的意義 x∈[0，π]，則符合條件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反余弦，記作arccosa，即x=arccosa. 注：1、“arccosa”表示[0，π]中的一個(gè)角，其中-1≤a≤1. 2、cos(arccosa)=a. (三)、反正切的意義 ，則符合條件tanx=a的角x叫做a的反正切，記作arctana，即x=arctana. 注：1、“arctana”表示中的一個(gè)角. 2、tan(arctana)=a. (四)、用反三角符號(hào)表示[0，2π]中角的一般規(guī)律
反函數(shù)的相關(guān)說明
⑴在函數(shù)x=f^(-1)(y)中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f^(-1)(x)，今后凡無特別說明，函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式。
⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f^(-1)(x)，那么函數(shù)y=f’(x)的反函數(shù)就是y=f^(-1)(x)，這就是說，函數(shù)y=f(x)與y=f^(-1)(x)互為反函數(shù)。
⑶互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性。單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)，如二次函數(shù)在R內(nèi)不是反函數(shù)，但在其單調(diào)增(減)的定義域內(nèi)，可以求反函數(shù)。
⑷ 從映射的定義可知，函數(shù)y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)y=f(x)的定義域正好是它的反函數(shù)y=f^(-1)(x)的值域;函數(shù)y=f(x)的值域正好是它的反函數(shù)y=f^(-1)(x)的定義域(如下表)：
函數(shù)：y=f(x);
反函數(shù)：y=f^(-1)(x);
定義域： A C;
值域： C A;
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數(shù)y=f(x)的映射f是函數(shù)的定義域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所確定的函數(shù)y=f^(-1)(x)就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)y=f‘(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. 開始的兩個(gè)例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數(shù)就可以寫為f^(-1)(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數(shù)為：f^(-1)(x)=x/2-3.
有時(shí)是反函數(shù)需要進(jìn)行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x進(jìn)行分類討論：在x大于0時(shí)的情況，x小于0的情況，多是要注意的。一般分?jǐn)?shù)函數(shù)的反函數(shù)的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
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